Логическая математика

       Если Вы любите логику или хотя бы считаете ее полезной и хотите знать о ней больше, то эта страница для Вас!
       Здесь предлагается не совсем обычный взгляд на логику. Этому взгляду или, точнее, подходу к изложению логики соответствует термин "логическая математика" (что это такое и чем "логическая математика" отличается от "математической логики", сказано ниже). Более подробное обоснование этой точки зрения Вы найдете на других страницах этого сайта с помощью ссылок. Также можно найти здесь некоторые новые результаты исследований в области математических методов логического анализа систем. Они были опубликованы в научных изданиях, а здесь доступно изложены в курсе моих лекций по математике и логике естественных рассуждений для студентов Санкт-Петербургского Университета Культуры и Искусств (СПбГУКИ). Хотя этот курс разработан для студентов-гуманитариев (это, в частности, означает, что основные математические понятия вводятся "с нуля"), но, надеюсь, в нем найдется немало интересного для "технарей" и для специалистов по логике и математике. Курс иллюстрируется многочисленными примерами и логическими задачами.
       Те, кто интересуется философскими проблемами логики и методологии науки, могут найти здесь некоторые мои опубликованные в печати философские (точнее, методологические) работы ( статья "С чем идет современная логика в XXI век?", книга "Феномен нового знания: постижение истины или сотворение мифа?").
       Сейчас не существует единого понимания логики. Раньше для многих логика представлялась наукой о правильном мышлении. В ее основе лежало учение о понятии, а в качестве основного метода для анализа рассуждений и аргументации использовалась силлогистика Аристотеля. Начиная с середины XIX появились и стали бурно развиваться новые мощные методы логического анализа: булева алгебра, алгебра множеств, математическая логика.
       Вместе с этим в конце XIX века появился и впоследствии широко распространился подход, в соответствии с которым логика представляется как некоторая совокупность искусственных языков, теоретической основой которых в настоящее время является математическая Теория формальных систем (ТФС). С помощью ТФС можно изложить не только классическую логику (к ней относятся теория доказательств, математическая логика и отчасти силлогистика), но и многочисленные варианты неклассической логики (многозначная, модальная, парапротиворечивая, немонотонная и т.д.).
       В современных "традиционных" курсах логики (для школьников, юристов, гуманитариев) ТФС не используется (видимо, потому, что слишком сложна для понимания), в них помимо силлогистики даются некоторые сведения из математической логики и иногда некоторые неклассические логики, но при этом цельной картины логики не получается. О том, что это наука о правильном мышлении, сейчас мало кто упоминает. Мне кажется, что это главный симптом затянувшегося глубокого кризиса в логике.
       Что означает логическая математика и чем она отличается от математической логики?
       Математическая логика развивалась в XX веке как система, претендующая на то, чтобы выразить средствами ТФС все, что имеет отношение к доказательствам. Язык ТФС имеет простую структуру и содержит всего четыре компонента:
       1) алфавит;
       2) синтаксические правила, позволяющие составлять из символов алфавита правильные предложения;
       3) выбранную совокупность правильных предложений, имеющих статус аксиом;
       4) правила (логического) вывода, позволяющие выводить из аксиом теоремы и следствия.
       Язык математической логики является частным случаем ТФС. Математики с помощью этого языка смогли выразить некоторые другие разделы математики (например, формальную теорию множеств, формальную арифметику, теорию групп и т.д.). Некоторые средства и методы математической логики используются в современных системах искусственного интеллекта. Язык математической логики в последние десятилетия начали использовать как основной язык семантики.
       Логическая математика предназначена для решения основных задач математической логики, но базируется она не на формальном языке, а на некоторых известных алгебраических системах - алгебре множеств и теории частично упорядоченных множеств. При определенном развитии такой подход позволяет не только применять к рассуждениям дедуктивный метод в полном объеме, но и делает возможной реализацию некоторых видов правдоподобных рассуждений, таких как формирование и проверка гипотез, абдуктивный вывод и т.д. С помощью этого подхода можно сравнительно легко выполнять вероятностный анализ логических систем (материалы по этой теме опубликованы в открытой печати, но пока что на данном сайте не отражены). И еще одно важное достоинство: в отличие от математической логики данный подход не требует для своего усвоения основательной математической подготовки. Все необходимые для его понимания математические понятия даются в небольшом по объему курсе лекций для студентов.
       С точки зрения логической математики основой методов и средств логического анализа является не ТФС, а Общая теория многоместных отношений (ОТМО). Оказывается, многие системы знаний можно представить математически не в виде некоторого искусственного языка, а в виде совокупности отношений, с которыми выполняются определенные операции и преобразования. Некоторые из этих преобразований соответствуют логическому выводу и другим типам анализа рассуждений. Система ОТМО пока что полностью не разработана. Широко известная реляционная алгебра, применяемая в системах управления базами данных, является лишь частным случаем ОТМО. Известна также теория бинарных отношений и ее частные случаи - теория графов, теория частично упорядоченных множеств и теория решеток. Но они тоже всего лишь частные случаи ОТМО и пока не охватывают всех возможных моделей логического анализа.
       Оказывается, ОТМО незаметно присутствует в математической логике в виде интерпретации основного раздела математической логики - исчисления предикатов. По сути предикаты и логические формулы - это те же отношения, но, выраженные на языке ТФС, они значительно теряют свою структурную простоту и "наглядность" (т.е. семантику и интерпретируемость). В учебниках и монографиях по математической логике интерпретация используется лишь как краткая формулировка в виде небольшого вступления. В основном же вся теоретическая база математической логики строится на основе ТФС.
       Мне представляется, что путь в ОТМО можно проложить с помощью новой математической системы, которую я назвал Алгеброй кортежей. Начальные сведения о ней изложены во второй части курса лекций. В дальнейшем этот материал будет дополнен.
       Одним из частных случает ОТМО являются E-структуры - это заодно и частный случай частично упорядоченных множеств. С точки зрения логики E-структуры интересны тем, что позволяют значительно расширить аналитические возможности силлогистики Аристотеля и заодно применить к системам суждений методы моделирования и анализа правдоподобных рассуждений. Подход к анализу рассуждений на основе E-структур изложен в моей книге "Логика естественных рассуждений" и представлен здесь в первой части курса лекций.
      
       Пользуюсь случаем выразить свою признательность и благодарность моим наставникам и учителям: безвременно ушедшему от нас профессору Леониду Павловичу Крайзмеру, который ввел меня, никому неизвестного тогда горного инженера, в круг известных специалистов по искусственному интеллекту и даже предложил участвовать в качестве соавтора в написании одной из своих многочисленных книг, и одному из главных создателей и руководителей отечественной школы искусственного интеллекта Дмитрию Александровичу Поспелову, без внимания и поддержки которого мои блуждания в поисках истины оказались бы намного менее результативными, а моя научная карьера была бы намного более тернистой.
       Л.П. Крайзмер внес огромный вклад в становление и развитие отечественной кибернетики. Этот вклад выражен не только в многочисленных монографиях и статьях, но и в активной общественной деятельности (в течение многих лет он был бессменным руководителем секции Кибернетики в Доме ученых на Дворцовой набережной). Незадолго до своей кончины он начал писать свои воспоминания. К сожалению, Леонид Павлович не успел их завершить, но даже в незаконченном (скорее даже, в начатом) виде они читаются с большим интересом. Эти воспоминания в 2003 году были опубликованы весьма ограниченным тиражом. Здесь они будут доступны более широкому кругу читателей.
       На персональную страницу